PROPOSISI

Proposisi adalah istilah yang digunakan untuk kalimat pernyataan yang memiliki arti penuh dan utuh. Hal ini berarti suatu kalimat harus dapat dipercaya, disangsikan, disangkal, atau dibuktikan benar tidaknya. Singkatnya, proposisi adalah pernyataan mengenai hal-hal yang dapat dinilai benar atau salah.

Dalam ilmu logika, proposisi mempunyai tiga unsur yakni:

1.   Subyek, perkara yang disebutkan adalah terdiri dari orang, benda, tempat, atau perkara.

2.   Predikat adalah perkara yang dinyatakan dalam subjek.

3.   Kopula adalah kata yang menghubungkan subjek dan predikat. 

Contohnya kalimat Semua manusia adalah fana.Kata semua dalam kalimat tersebut dinamakan dengan pembilang. Kemudian kata manusia berkedudukan sebagai subyek, sedang adalah merupakan kopula. Adapun predikat di sini diwakili oleh kata fana.

Banyak pemikir modern berpikir bahwa "pernyataan" dan "proposisi" adalah sinonim, atau paling tidak seharusnya sama.

1.    Konsep dan Notasi Dasar

Konsep dan notasi dasar yaitu kalimat deklaratif yang bernilai (true) atau salah (false), tetapi tidak keduanya.

Contoh 1

Semua pernyataan dibawah ini adalah proposisi:

a)    5 adalah bilangan ganjil.

b)    2 + 3 = 5

c)    Hari ini adalah hari Minggu.

Contoh 2

Semua pernyataan di bawah ini bukan proposisi:

a)    X + 3 = 8

b)    Isilah gelas tersebut dengan air!

c)    Jam berapa Alesya berangkat?

Proposisi dilambangkan dengan huruf kecil p,q,r,…

p: 5 adalah bilangan ganjil.

q: Hari ini adalah hari Minggu

r: 2 + 2 = 4

Misalkan p dan q adalah proposisi.

1.    Konjungsi : p ˄ q

2.    Disjungsi : p ˅ q

3.    Ingkaran dari p : ~ p

p	q	p ˄ q
B B S S	B S B S	B S S S
p	q		p ˅ r
B B S S	B S B S		S S S T
p	~q
B S	S B

Contoh 3

Diketahui proposisi-proposisi berikut:

p : Hari ini hujan

q : Murid diliburkan

p ˄ q : Hari ini hujan dan murid diliburkan

p ˅ q :Hari ini hujan atau murid diliburkan

~p : Hari ini tidak hujan

Misalkan p dan q adalah proposisi:

->1. Kondisional atau implikasi        : p        q

->2. Konvers (kebalikan)                    : q        p

   -  3. Invers                                             : ~ p    >  ~ q    

  ->4. Kontraposisi                                 : ~ q       ~ p

P	q	~p	~q	Implikasi p -> q	Konvers q ->  p	Invers ~p -> ~q	Kontraposisi ~q -> ~p
B B S S	B S B S	S S B B	S B S B	B S B B	B B S B	B B S B	B S B B

Bikondisional (Bi-implikasi)

Ø  Bentuk proposisi : “p jika dan hanya jika q”

Ø         ->Notasi : p       q

p	q	p -> q
B B S S	B S B S	B S S B

2.    Proposisi dan Tabel Kebenaran

p	q	R	p ˄ q	~ q	~ q ˄ r	(p ˄ q) ˅ (~ q ˄ r)
B B B B S S S S	B B S S B B S S	B S B S B S B S	B B S S S S S S	S S B B S S B B	S S B S S S B S	B B B S S S B S

3.    Tautologi dan Kontradiksi

Ø  Proposisi majemuk disebut tautologi jika ia BENAR untuk semua kasus.

Ø  Proposisi majemuk disebut kontradiksi jika ia SALAH untuk semua kasus.

Contoh: p ˅ ~(p ˄ q) Adalah sebuah tautologi.

P	q	p ˄ q	~ (p ˄ q)	p ˅ ~ (p ˄ q)
B B S S	B S B S	B S S S	S B B B	B B B B

Contoh : (p ˄ q) ˄ ~(p ˅ q) Adalah sebuah kontradiksi.

p	q	p ˄ q	p ˅ q	~ (p ˅ q)	(p ˄ q)
B B S S	B S B S	B S S S	S B B S	S S S B	S S S S

4.    Ekivalen Logika

Dua buah proposisi majemuk P (p,q,…) dan Q (p,q,…) disebut ekivalen  secara logika jika keduanya mempunyai tabel kebenaran yang identic.

 <=>Notasi : P(p,q,…)          Q(p,q,...)

 <=>      Hukum De Morgan : ~(p ˄ q)         ~p ˅ ~q 

p	q	p ˄ q	~(p ˄ q)	~p	~q	~p ˅ ~q
B B S S	B S B S	B S S S	S B B B	S S B B	S B S B	S B B B

5.    Aljabar Proposisi

1.    Hukum Identitas : -       p ˅ B   <=> p        -  p ˄ S <=> p	6.    Hukum null / Dominasi : -       p ˄ S <=>  S -       p ˅ B <=>  B
2.    Hukum Negasi: -       p ˅ ~p <=>  B -       p ˄ ~p <=>  S	7.    Hukum Idempoten : -       p ˅ p <=>  p -       p ˄ p <=>   p
3.    Hukum Involusi (Negasi Ganda): -       ~(~p)  <=> p	8.    Hukum Penyerapan (absorpsi) : -       p ˅ (p ˄ q) <=> p -       p ˄ (p ˄ q) <=> p
4.    Hukum Komutatif : -       p ˅ q <=> q ˅ p -       p ˄ q <=>  q ˄ p	9.    Hukum asosiatif : -       p ˅ (q ˅ r) <=> (p ˅ q) ˅ r -       p ˄ (q ˄ r) <=>  (p ˄ q) ˄ r
5.    Hukum Distributif : -       p ˅ (q ˄ r) <=>  (p ˅ q) ˄   (p ˅ q) -       p ˄ (q ˅ r) <=>  (p ˄ q) ˅ (p ˄ q)	10. Hukum De Morgan : -       ~(p ˄ q) <=>  ~p ˅ ~q -       ~(p ˅ q)  <=>  ~p ˄ ~q

Contoh :

Bahwa p ˅ ~(p ˅ q) dan p ˅ ~q keduanya ekivalen secara logika.

Penyelesaian:

   <=<=><=><=>p ˅ ~(p ˅ q)     >      p ˅ (~p ˄ ~q)                       (Hukum De Morgan)

                             (p ˅ ~p) ˄ (p ˅ ~q) (Hukum Distributif)

                              B ˄ (p ˅ ~q)                      (Hukum Negasi)

                              p ˅ ~q                               (Hukum Identitas)

Contoh :

Buktikan hukum penyerapan : p ˄ (p ˅ q) <=> p

Penyelesaian :

p ˄ (p ˅ q) <=> (p ˅ S) ˄ (p ˅ q)       (Hukum Identitas)

 <=><=>                         <=>  p ˅ (B ˄ q)              (Hukum Distribusi)

                           p ˅ S                        (Hukum null)

                            p                             (Hukum Identitas)

6.    Implikasi Logika

Implikasi logika yang artinya satu arah.Seperti ada kalimat pernyataan yang disebut P dan Q (p  ->     q) yang artinya “Jika P Maka Q”.

Tabel Kebenaran Implikasi :

p	q	p    ->  q
B B S S	B S B S	B S B B

7.    Fungsi Proposisi dan Himpunan Kebenaran

Fungsi proposisi (fungsi proposisi jamak) (logika) Sebuah ekspresi yang mengandung simbol-simbol aljabar yang berfungsi untuk mewakili kata-kata atau unsur-unsur lain dari kalimat atau proposisi.

Misalkan P(x) merupakan sebuah pernyataan yang mengandung variabel x dan D adalah sebuah himpunan (sembarang kumpulan obyek). Kita menyebut P sebuah fungsi proposisi (dalam D) jika untuk setiap x di D, P(x) adalah proposisi.

Contoh :

a.  Misalkan P(n) adalah pernyataan, n adalah bilangan ganjil dan D adalah himpunan bilangan bulat positif. Maka P adalah fungsi proposisi dengan daerah asal pembicaraan D karena untuk setiap n di D, P(n) adalah proposisi (yakni, untuk setiap n di D, P(n) bisa bernilai benar atau salah tetapi tidak keduanya). Jika n=1, dapat diperoleh proposisi. 1 adalah bilangan ganjil bernilai benar. Jika n=2, diperoleh proposisi 2 adalah bilangan ganjil bernilai salah.

b.    Fungsi proposisi “x+2>7” yang didefinisikan pada N, yakni himpunan bilangan asli. Maka {x | x Î N, x+2>7} = {6,7,8,…}adalah himpunan kebenarannya.

8.    Pengukur Jumlah Universal

Salah satu cara untuk menentukan nilai kebenaran dari suatu predikat adalah dengan menggunakan batasan nilai yang disebut pengukur jumlah (Quantifier) dari variabel‐variabelnya.  Pengukur jumlah tersebut adalah :

1.    Universal quantifier (∀)    

Definisi:  Misalkan A sebuah penyataan, dan x menyatakan suatu variabel. Jika kita ingin menunjukkan bahwa A bernilai benar untuk semua kemungkinan nilai x, kita tuliskan ∀xA. ∀x disebut pengukur jumlah universal (universal quantifier), dan A dikatakan sebagai ruang lingkup (scope) dari pengukur jumlah tersebut. Variabel x dikatakan menjadi variabel terbatas (bound) dari pengukur jumlah tersebut. Simbol ∀ dibaca “Untuk semua”. Kalkulus Predikat 61 Untuk pernyataan “Semua kucing punya ekor” dapat kita nyatakan dalam kalkulus predikat sebagai :

∀x (Kucing(x)⇒PunyaEkor(x))

Contoh:

p : Semua perempuan menyukai makanan manis, ingkaran dari p adalah ~p: Tidak benar bahwa semua perempuan menyukai makanan manis, atau

~p : Ada perempuan yang tidak menyukai makanan manis

Berdasarkan contoh diatas tampak bahwa ingkaran dari pernyataan berkuantor universal adalah sebuah pernyataan berkuantor eksistensial. Secara umum, ingkaran dari pernyataan berkuantor universal dapat ditentukan sebagai berikut.

~[" x, p(x)] º $ x, ~p(x)

dibaca: ingkaran dari “untuk setiap x berlakulah p(x)” ekuivalen dengan “ada x yang bukan p(x)”

9.    Negasi Ingkaran

Dalam logika matematika, negasi, atau ingkaran adalah operasi matematika terhadap suatu pernyataan, baik tunggal maupun majemuk. Operasi negasi membalikkan nilai kebenaran suatu pernyataan.

p	~p
B S	S B

Jika p bernilai benar, maka ~p bernilai salah. Sebaliknya, jika p bernilai salah, maka ~p bernilai benar.Bentuk ~p biasa dibaca "bukan p", "tidak p", "tidak benar bahwa p", dsb.

BAB III

ANALISIS

Proposisi adalah istilah yang digunakan untuk kalimat pernyataan yang memiliki arti penuh dan utuh.Proposisi terdiri atas konsep dan notasi dasar, tabel kebenaran,tautology dan kontradiksi, ekivalen logika, aljabar proposisi, implikasi logika, pengukur jumlah universal, negasi ingkaran, dan contoh balasan.

Konsep dan notasi dasar merupakan kalimat deklaratif yang bernilai benar atau salah, tetapi tidak keduanya. Konsep notasi dasar terdiri dari konjungsi, disjungsi dan ingkaran.Adapula kondisional atau implikasi, konvers (kebalikan), invers, kontraposisi dan bikondisional (bi-implikasi). Tautologi adalah proposisi majemuk jika benar untuk semua kasus. Kontradiksi adalah proposisi majemuk jika salah untuk semua kasus. Ekivalen logika adalah dua buah proposisi majemuk yang secara logika jika keduanya mempunyai tabel kebenaran yang identik (biasa menggunakan hukum de Morgan). Adapula aljabar proposisi, aljabar proposisi terdiri dari berbagaimacam hukum : hukum identitas, hukum negasi, hukum involusi (negasi ganda), hukum komutatif, hukum distributive, hukum null/dominasi, hukum idempoten, hukum penyerapan (absorpsi), hukum asosiatif dan hukum de morgan.

Implikasi logika yang artinya satu arah.Seperti ada kalimat pernyataan yang disebut P dan Q (p - > q) yang artinya “Jika P Maka Q”. Fungsi proposisi dan himpunan kebenaran, Fungsi proposisi (fungsi proposisi jamak) (logika) Sebuah ekspresi yang mengandung simbol-simbol aljabar yang berfungsi untuk mewakili kata-kata atau unsur-unsur lain dari kalimat atau proposisi. Adapun pengukuran jumlah universal Salah satu cara untuk menentukan nilai kebenaran dari suatu predikat adalah dengan menggunakan batasan nilai yang disebut pengukur jumlah (Quantifier) dari variabel‐variabelnya. Negasi ingkaran, Dalam logika matematika, negasi, atau ingkaran adalah operasi matematika terhadap suatu pernyataan, baik tunggal maupun majemuk. Operasi negasi membalikkan nilai kebenaran suatu pernyataan.

Referensi

file:///C:/Users/user/Downloads/4.%20PROPOSISI%20(1).pdf)

https://smartblogmathematic.wordpress.com/ingkaran/

http://jessioimeliojordy.blogspot.co.id/2014/10/sap-6-matematika-sistem-informasi-1.html

belajartanpabuku.blogspot.co.id › Home › Belajar Tanpa Buku › Fungsi

http://rafadwihadi.weebly.com/uploads/1/1/8/4/11848412/modul_3_kalkulus_predikat.pdf

http://irnanurhayati.blogspot.co.id/2014/07/logika-2.html

https://id.wikipedia.org/wiki/Negasi

http://arlindaputrisunarta.blogspot.co.id/2016/05/proposisi-logika-matematika.html